Từ giả thiết ta có: \(1=a+b+c\ge3\sqrt[3]{abc}\Rightarrow abc\le\frac{1}{27}\)

Áp dụng BĐT AM - GM:

\(P=\frac{\sqrt{3}}{2}.\sqrt{\frac{4}{3}.a\left(a+bc\right)}+\frac{\sqrt{3}}{2}.\sqrt{\frac{4}{3}.b\left(b+ca\right)}+\frac{\sqrt{3}}{2}.\sqrt{\frac{4}{3}.c\left(c+ab\right)}+9\sqrt{abc}\)\(\le\frac{\sqrt{3}}{2}.\left(\frac{\frac{7}{3}a+bc+\frac{7}{3}b+ca+\frac{7}{3}c+ab}{2}\right)+9\sqrt{abc}\)

\(=\frac{\sqrt{3}}{2}.\left[\frac{\frac{7}{3}\left(a+b+c\right)+ab+bc+ca}{2}\right]+9\sqrt{abc}\)

\(=\frac{\sqrt{3}}{2}.\left(\frac{7}{6}+\frac{ab+bc+ca}{2}\right)+9\sqrt{abc}\)

Áp dụng BĐT quen thuộc \(xy+yz+zx\le\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}\)

Khi đó: \(P\le\frac{\sqrt{3}}{2}.\left(\frac{7}{6}+\frac{\frac{1}{3}}{2}\right)+9\sqrt{\frac{1}{27}}=\frac{5\sqrt{3}}{3}\)

\(\Rightarrow min_P=\frac{5\sqrt{3}}{3}\Leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{3}\)

\(\frac{a}{\sqrt{bc\left(1+a^2\right)}}=\frac{a}{\sqrt{bc+a\left(a+b+c\right)}}=a\sqrt{\frac{1}{a+b}.\frac{1}{c+a}}\le\frac{\frac{a}{a+b}+\frac{a}{c+a}}{2}\)

Tương tự 2 cái còn lại cộng lại ta đc \(VT\le\frac{3}{2}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=\sqrt{3}\)

Cach khac

Dat \(P=\frac{a}{\sqrt{bc\left(1+a^2\right)}}+\frac{b}{\sqrt{ca\left(1+b^2\right)}}+\frac{c}{\sqrt{ab\left(1+c^2\right)}}\)

Ta co:

\(a+b+c=abc\)

\(\Rightarrow\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}=1\)

Dat \(\left(\frac{1}{a};\frac{1}{b};\frac{1}{c}\right)=\left(x;y;z\right)\)

\(\Rightarrow xy+yz+zx=1\)

\(\Rightarrow P=\sqrt{\frac{yz}{1+x^2}}+\sqrt{\frac{zx}{1+y^2}}+\sqrt{\frac{xy}{1+z^2}}\)

Ta lai co:

\(\sqrt{\frac{yz}{1+x^2}}=\sqrt{\frac{yz}{xy+yz+zx+x^2}}=\sqrt{\frac{yz}{\left(x+y\right)\left(z+x\right)}}\le\frac{1}{2}\left(\frac{y}{x+y}+\frac{z}{z+x}\right)\)

Tuong tu:

\(\sqrt{\frac{zx}{1+y^2}}\le\frac{1}{2}\left(\frac{z}{y+z}+\frac{x}{x+y}\right)\)

\(\sqrt{\frac{xy}{1+z^2}}\le\frac{1}{2}\left(\frac{x}{z+x}+\frac{y}{y+z}\right)\)

\(\Rightarrow P\le\frac{1}{2}\left(\frac{x+y}{x+y}+\frac{y+z}{y+z}+\frac{z+x}{z+x}\right)=\frac{3}{2}\)

Dau '=' xay ra khi \(x=y=z=\frac{1}{\sqrt{3}}\)

\(\Rightarrow a=b=c=\sqrt{3}\) 

Vay \(P_{min}=\frac{3}{2}\)khi \(a=b=c=\sqrt{3}\)

Dễ dàng dự đoán được dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)Nhận thấy các đại lượng trong căn và mẫu đồng chưa bậc nên suy nghĩ đầu tiên là đồng bậc. Để ý đến giả thiết a+b+c=1 ta thấy \(a^2+abc=a^2\left(a+b+c\right)+abc=a\left(a+b\right)\left(a+c\right)\)

\(c+ab=a\left(a+b+c\right)+ab=\left(a+c\right)\left(b+c\right)\)

Hoàn toàn tương tự ta có \(b^2+abc=b\left(b+a\right)\left(b+c\right);c^2+abc=c\left(c+b\right)\left(c+a\right)\)

\(b+ac=\left(a+b\right)\left(b+c\right);a+bc=\left(a+b\right)\left(b+c\right)\)

Khi đó bất đẳng thức cần chứng minh trở thành

\(\frac{\sqrt{a\left(a+b\right)\left(a+c\right)}}{\left(a+c\right)\left(b+c\right)}+\frac{\sqrt{b\left(b+c\right)\left(b+a\right)}}{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}+\frac{\sqrt{c\left(c+a\right)\left(c+b\right)}}{\left(b+a\right)\left(b+c\right)}\le\frac{1}{2\sqrt{abc}}\)

hay \(\frac{a\sqrt{bc\left(a+b\right)\left(a+c\right)}}{\left(a+c\right)\left(c+b\right)}+\frac{b\sqrt{ab\left(b+c\right)\left(a+b\right)}}{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}+\frac{c\sqrt{ab\left(a+b\right)\left(b+c\right)}}{\left(c+b\right)\left(b+a\right)}\le\frac{1}{2\sqrt{abc}}\)

Quan sát bất đẳng thức trên ta liên tưởng đến bất đẳng thức Cauchy, để ý là

\(bc\left(a+b\right)\left(a+c\right)=c\left(a+b\right)\cdot b\left(a+c\right)=b\left(a+b\right)\cdot c\left(a+c\right)\)

Trong 2 cách viết trên ta chọn cách viết thứ nhất vì khi sử dụng bất đẳng thức Cauchy dạng \(2\sqrt{xy}\le x+y\)thì không tạo ra các đại lượng có chứa các bình phương. Khi đó áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta được

\(\sqrt{bc\left(a+b\right)\left(a+c\right)}\le\frac{b\left(a+c\right)+c\left(a+b\right)}{2}=\frac{ab+2bc+ca}{2}\)

Áp dụng tương tự ta được

  \(\frac{a\sqrt{bc\left(a+b\right)\left(a+c\right)}}{\left(c+a\right)\left(c+b\right)}+\frac{b\sqrt{ac\left(b+c\right)\left(a+b\right)}}{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}+\frac{c\sqrt{ab\left(a+c\right)\left(b+c\right)}}{\left(b+c\right)\left(b+a\right)}\)\(\le\frac{a\left(ab+2bc+ca\right)}{2\left(c+a\right)\left(c+b\right)}+\frac{b\left(ab+bc+2ac\right)}{2\left(a+b\right)\left(a+c\right)}+\frac{c\left(2ab+bc+ca\right)}{2\left(b+c\right)\left(b+a\right)}\)

Phép chứng minh sẽ hoàn tất nếu ta chỉ ra được \(\frac{a\left(ab+2bc+ca\right)}{2\left(c+a\right)\left(c+b\right)}+\frac{b\left(ab+bc+2ac\right)}{2\left(a+b\right)\left(a+c\right)}+\frac{c\left(2ab+bc+ca\right)}{2\left(b+c\right)\left(b+a\right)}\le1\)

hay \(a\left(ab+2bc+ca\right)\left(a+b\right)+b\left(b+c\right)\left(ab+bc+2ca\right)+c\left(c+b\right)\left(2ab+bc+ca\right)\)\(\le\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\)

Vế trái của bất đẳng thức là bậc bốn còn vế phải là bậc ba nên ta có thể đồng bậc là

\(a\left(ab+2bc+ca\right)+b\left(b+c\right)\left(ab+bc+2ac\right)+c\left(c+b\right)\left(2ab+bc+ca\right)\)

\(\le\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\left(a+b+c\right)\)

Triển khai và thu gọn ta được \(a^3\left(b+c\right)+b^3\left(c+a\right)+c^3\left(a+b\right)+a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2+5\left(a^2bc+ab^2c+abc^2\right)\)

\(\le a^3\left(b+c\right)+b^3\left(a+c\right)+c^3\left(a+b\right)+2\left(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\right)+4\left(a^2bc+ba^2c+abc^2\right)\)

hay \(abc\left(a+b+c\right)\le a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\), đây là một đánh giá đúng

Dấu đẳng thức xảy ra tại \(a=b=c=\frac{1}{3}\)

Đề bài này sai

\(a+b+c+2=abc\)

\(\Leftrightarrow2a+2b+2c+3+ab+bc+ca=abc+ab+bc+ca+a+b+c+1\)

\(\Leftrightarrow\left(a+1\right)\left(b+1\right)+\left(c+1\right)\left(b+1\right)+\left(c+1\right)\left(a+1\right)=\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{a+1}+\dfrac{1}{b+1}+\dfrac{1}{c+1}=1\)

Đặt \(\left(\dfrac{1}{a+1};\dfrac{1}{b+1};\dfrac{1}{c+1}\right)=\left(x;y;z\right)\)

\(\Rightarrow x+y+z=1\)

BĐT trở thành:

\(P=\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\le\sqrt{3\left(x+y+z\right)}=\sqrt{3}\)

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(x=y=z=\dfrac{1}{3}\) hay \(a=b=c=2\)